Kąt α jest ostry i spełniona jest równość sin α+cos α=√(√(3)). Udowodnij, że istnieje liczba całkowita k, taka, że (sin² α+sin² (90° +α))/(sin αcos α) = k√(3)+k.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: k=1
Krok 1. Uproszczenie wyrażenia sin²α+sin²(90°+α).
Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: sin(90°+α)=cosα. Zatem:
sin²α+sin²(90°+α)=sin²α+cos²α
Z jedynki trygonometrycznej:
sin²α+cos²α=1
Krok 2. Wskazanie liczby całkowitej k.
Skoro sin²α+sin²(90°+α)=1, to dla k=1 wyrażenie przyjmuje wartość całkowitą.
Liczba k=1 jest liczbą całkowitą, co kończy dowodzenie.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.