Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem S_n = 4 · (2^n - 1) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy 4. P F Drugi wyraz ciągu (a_n) jest równy 12. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: PF
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartość pierwszego wyrazu będzie równa tak naprawdę S₁ (czyli "sumie pierwszego wyrazu"), stąd też dość nietypowo możemy obliczyć wartość a₁ podstawiając n=1 do wzoru podanego w treści zadania:
S₁=4 · (2¹-1) S₁=4 · (2-1) S₁=4 · 1 S₁=4
Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obliczmy teraz ile jest równe S₂, podstawiając n=2 do wzoru z treści zadania:
S₂=4 · (2²-1) S₂=4 · (4-1) S₂=4 · 3 S₂=12
S₂ to suma dwóch pierwszych wyrazów, a więc a₁+a₂. Wiemy już, że a₁ jest równe 4, czyli tym samym a₂ będzie równe 8, bo 4+8=12. To oznacza, że zdanie jest fałszem.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.