W ciągu arytmetycznym (a₁,a₂,...,a₃₉,a₄₀) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 10
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
a₂+a₄+a₆+...+a₃₈+a₄₀=1340 oraz a₁+a₃+a₅+...+a₃₇+a₃₉=1400
Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.
Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o r większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
a₂=a₁+r a₄=a₃+r a₄₀=a₃₉+r
Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
(a₁+r)+(a₃+r)+(a₅+r)+...+(a₃₇+r)+(a₃₉+r)=1340 czyli: a₁+a₃+a₅+...+a₃₇+a₃₉+20r=1340
Skoro suma a₁+a₃+a₅+...+a₃₇+a₃₉ jest równa 1400, to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
1400+20r=1340 20r=-60 r=-3
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów nieparzystych jest równa 1400, to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
S₄₀=1340+1400 S₄₀=2740
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S_n=(a₁+a_n)/2 · n S₄₀=(a₁+a₄₀)/2 · 40
Wiemy już, że S₄₀=2740 oraz że r=-3. Dodatkowo wartość a₄₀ możemy rozpisać jako a₁+39r. To sprawia, że:
S₄₀=(a₁+a₁+39r)/2 · 40 2740=(a₁+a₁+39 · (-3))/2 · 40 2740=(a₁+a₁+(-117)) · 20 137=2a₁-117 2a₁=254 a₁=127
Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro a₁=127 oraz r=-3, to korzystając z tego, że a₄₀=a₁+39r otrzymamy:
a₄₀=a₁+39r a₄₀=127+39 · (-3) a₄₀=127-117 a₄₀=10
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.