Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12. (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tg α=2/√(5). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krok 1. Omówienie sytuacji z treści zadania.

Na początek warto zwrócić uwagę na to, że nasz ostrosłup jest prawidłowy, czyli w podstawie ma figurę foremną. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w tym konkretnym przypadku będziemy mieć w podstawie kwadrat.

Spójrzmy teraz na trójkąt AOS. Jest to trójkąt prostokątny na który składa się połowa przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna ostrosłupa. Naszym zadaniem będzie tak naprawdę poznanie długości jednej i drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (poznanie dolnej przyprostokątnej doprowadzi nas do poznania długości krawędzi podstawy, no a wysokość jest sama w sobie niezbędna do obliczenia objętości).

Podaną mamy wartość tangensa kąta α i długość przeciwprostokątnej, która jest równa 12. Cała trudność tego zadania opiera się na tym, że tangens odpowiada przecież za stosunek długości przyprostokątnych (czyli tych boków, które szukamy) i nie jest on w żaden sposób powiązany z przeciwprostokątną. Gdybyśmy mieli podaną wartość np. cosinusa zamiast tangensa, to wtedy błyskawicznie obliczylibyśmy sobie wysokość bryły. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by tangensa zamienić na cosinusa i to będzie nasz kolejny krok.

Krok 2. Wyznaczenie wartości cosα.

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że tgα=sinα/cosα. Wiemy też z jedynki trygonometrycznej, że sin²α+cos²α=1. W związku z tym możemy przystąpić do zamiany tangensa na cosinusa:

tgα=2/√(5) sinα/cosα=2/√(5) sinα=2/√(5) cosα

Podstawiając teraz wyznaczonego sinusa do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:

sin²α+cos²α=1 (2/√(5) cosα)²+cos²α=1 4/5 cos²α+cos²α=1 9/5 cos²α=1 / · 5/9 cos²α=5/9 cosα=√(5)/3 cosα=-√(5)/3

Nad otrzymanymi wynikami musimy się jeszcze pochylić, zastanawiając się nad tym, czy przypadkiem któregoś cosinusa nie trzeba odrzucić. Co prawda nie mamy wprost podane w treści zadania, że α jest kątem ostrym (gdyby tak było, to ujemne rozwiązanie trzeba odrzucić), ale wiemy że tangens był wartością dodatnią, czyli α rzeczywiście musi być kątem ostrym. Stąd też ujemnego cosinusa możemy odrzucić i zostaje nam, że cosα=√(5)/3.

Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.

Teraz sprawa z obliczeniem wysokości ostrosłupa jest już bardzo prosta, bowiem korzystając z cosinusa możemy zapisać, że:

cosα=H/12 √(5)/3=H/12 H=12√(5)/3 H=4√(5)

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

W trójkącie AOS nasza dolna przyprostokątna AO ma długość równą połowie przekątnej podstawy. Wyznaczmy więc najpierw długość tej przyprostokątnej AO, a potem obliczymy długość całej przekątnej AC.

Do obliczenia długości AO możemy skorzystać albo z Twierdzenia Pitagorasa (bo znamy już długości dwóch boków tego trójkąta), albo nawet z podanego tangensa (bo znamy już długość jednej przyprostokątnej). Korzystając więc z tangensa otrzymamy:

tgα=|AO|/H 2/√(5)=|AO|/(4√(5)) 8√(5)/√(5)=|AO| |AO|=8

Odcinek AO jest połową przekątnej naszej podstawy, zatem cała przekątna będzie mieć długość:

|AC|=2 · 8 |AC|=16

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.

W podstawie bryły jest kwadrat, bo ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku a ma przekątną o długości a√(2). Skoro więc przekątna kwadratu ma długość 16, to:

a√(2)=16 a=16/√(2) a=16 · √(2)/(√(2) · √(2)) a=16√(2)/2 a=8√(2)

Krok 6. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie jest kwadrat o boku a=8√(2), zatem pole podstawy będzie równe:

P_p=(8√(2))² P_p=64 · 2 P_p=128

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Wiedząc już, że P_p=128 oraz że H=4√(5) bez problemu obliczymy objętość ostrosłupa:

V=1/3 P_p · H V=1/3 · 128 · 4√(5) V=512√(5)/3 V=170 2/3√(5)