Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C, a ponadto |AC|=r√(3). Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120° .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania zadania jest dorysowanie odcinka CS, który jest promieniem okręgu. Z własności stycznych do okręgu wiemy, że styczna tworzy z promieniem kąt prosty i to będzie dla nas bardzo ważna informacja w tym zadaniu dowodowym.
Drugą rzeczą, którą musimy dostrzec to fakt, że dorysowując odcinek CS utworzy nam się trójkąt równoramienny ASC, którego ramiona są promieniami okręgu, a podstawą jest bok AC. Co więcej, w treści zadania mamy tę długość podstawy opisaną jako |AC|=r√(3).
Nanosząc te wszystkie informacje oraz dorysowując jeszcze wysokość trójkąta równoramiennego ASC otrzymamy następującą sytuację:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka DC.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny DSC. Długość odcinka DC jest równa połowie długości odcinka AC (bo wysokość padająca na podstawę dzieli podstawę na dwa równe odcinki). Możemy więc zapisać, że:
|DC|=1/2 · |AC| |DC|=1/2 · r√(3) |DC|=r√(3)/2
Krok 3. Obliczenie miary kąta ACS.
Ponownie spoglądamy na trójkąt prostokątny DSC. Wiemy, że |SC|=r oraz że |DC|=r√(3)/2. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z cosinusa) możemy zapisać, że:
cosα=|DC|/|SC| cosα=r√(3)/2/r cosα=r√(3)/2:r cosα=r√(3)/2 · 1/r cosα=√(3)/2
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje taką wartość dla kąta o mierze 30°, czyli |∢ACS|=30°.
Krok 4. Obliczenie miary kąta ACB i zakończenie dowodzenia.
Kąt ACB jest sumą kątów ACS oraz SCB. Przed chwilą wyliczyliśmy, że |∢ACS|=30°, a z własności stycznych do okręgu wiemy, że |∢SCB|=90°. W związku z tym:
|∢ACB|=30°+90°=120°
W ten sposób dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.