W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,-2⟩ B. (-∞,4⟩ C. ⟨-2,+∞) D. ⟨4,+∞) b) Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne. c) Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A-F. Wzór funkcji f w postaci iloczynowej to: A. f(x)=1/2(x-2)(x-6) B. f(x)=1/2(x-4)²-2 C. f(x)=2(x-2)(x-6) D. f(x)=1/2(x+4)²-2 E. f(x)=2(x+2)(x+6) F. f(x)=2(x+4)²-2 d) Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A-F. Wzór funkcji f w postaci kanonicznej to: A. f(x)=1/2(x-2)(x-6) B. f(x)=1/2(x-4)²-2 C. f(x)=2(x-2)(x-6) D. f(x)=1/2(x+4)²-2 E. f(x)=2(x+2)(x+6) F. f(x)=2(x+4)²-2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) C b) (2,6) c) A d) B
a)
Zbiór wartości odczytujemy z osi Oy. Widzimy, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez funkcję będzie y=-2, a potem ta funkcja rośnie aż do nieskończoności. W takim razie zbiorem wartości funkcji f jest przedział ⟨-2,+∞).
b)
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od x=2 (bez tego argumentu, bo dla niego przyjmowana wartość jest równa 0), aż do argumentu x=6 (także bez tego argumentu). Zapisalibyśmy więc, że wartości ujemne są przyjmowane w przedziale x ∈ (2,6).
c)
Zacznijmy od postaci iloczynowej, czyli funkcji typu f(x)=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁ oraz x₂ to miejsca zerowe funkcji. Z wykresu odczytujemy, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe i są to x₁=2 oraz x₂=6. Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
f(x)=a(x-2)(x-6)
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika a. Aby go poznać, musimy podstawić współrzędne jakiegoś punktu, przez który przechodzi nasza funkcja. Przykładowo pasuje nam punkt o współrzędnych (0,6), zatem podstawiając jego współrzędne, otrzymamy następującą sytuację:
6=a(0-2)(0-6) 6=a(-2)(-6) 6=12a a=6/12=1/2
To oznacza, że pierwszym poszukiwanym wzorem będzie f(x)=1/2(x-2)(x-6), czyli odpowiedź A.
d)
Z wykresu odczytujemy, że wierzchołkiem naszej paraboli jest punkt o współrzędnych (4,-2). Postać kanoniczną zapisujemy jako f(x)=a(x-p)²+q, gdzie p oraz q to właśnie współrzędne naszego wierzchołka. Podstawiając zatem p=4 oraz q=-2, otrzymamy:
f(x)=a(x-4)²+(-2) f(x)=a(x-4)²-2
Ponownie brakuje nam współczynnika a, ale to będzie ta sama wartość jak obliczona w postaci iloczynowej, czyli a=1/2. Możemy zatem zapisać, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie:
f(x)=1/2(x-4)²-2
Jest to odpowiedź B.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.