Dany jest wielomian W(x) = -3x³ - x² + kx + 1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x) = (x + 1) · Q(x) dla pewnego wielomianu Q. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.29
- B.(-3)
- C.0
- D.3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Z informacji W(x)=(x+1) · Q(x) wynika, że wielomian W(x) jest podzielny przez x+1, a wynikiem takiego dzielenia byłby właśnie wielomian Q(x). Z twierdzenia Bezouta wiemy, że wielomian jest podzielny przez dwumian x-a tylko wtedy, gdy a jest pierwiastkiem tego wielomianu. W naszym przypadku wielomian jest podzielny przez x+1, czyli przez x-(-1), zatem a=-1. Te wszystkie informacje koniec końców oznaczają, że dla zmiennej x=-1 nasz wielomian musi przyjać wartość równą 0, co daje nam następujące równanie do rozwiązania:
-3 · (-1)³-(-1)²+k · (-1)+1=0 -3 · (-1)-1-k+1=0 3-1-k+1=0 3-k=0 k=3
Wyrażenia algebraiczne: Przekształcanie wyrażeń, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i wyrażenia wymierne wraz z dziedziną.