Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB|=2 · |CD|. Przekątna AC tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta DAB. Wykaż, że w tym trapezie miara kąta DAB jest równa 60°.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Wykorzystanie własności kątów w trapezie.
Z treści zadania wiemy, że przekątna AC to dwusieczna kąta DAB. Oznaczmy połowę tego kąta jako α, wtedy ∠DAC=∠CAB=α, a cały kąt ∠DAB=2α. Ponieważ podstawy trapezu AB i CD są równoległe, kąty naprzemianległe ∠DCA i ∠CAB mają równe miary, więc ∠DCA=α.
Krok 2. Dostrzeżenie trójkąta równoramiennego.
Rozpatrzmy trójkąt ACD. Z naszych ustaleń wynika, że |∢DAC|=α oraz |∢DCA|=α. Trójkąt ten jest więc równoramienny, zatem ramiona AD i CD są sobie równe.
Krok 3. Poprowadzenie wysokości i zastosowanie trygonometrii.
Niech długość krótszej podstawy wynosi |CD|=a, wtedy ramię trapezu |AD|=a oraz dłuższa podstawa |AB|=2a (co wynika wprost z treści zadania). Prowadząc wysokości z punktów C i D na podstawę AB, utworzył nam się na środku odcinek o długości a. Ponieważ trapez jest równoramienny, pozostała część podstawy układa się na dwa równe odcinki przy kątach ostrych. Odcinek przy kącie DAB ma więc długość (2a-a)/2=a/2.
Krok 4. Obliczenie miary kąta DAB.
Powstał nam mały trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną przy kącie DAB jest obliczony odcinek a/2, a przeciwprostokątną jest ramię trapezu o długości a. Skorzystajmy zatem z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej to z cosinusa), aby obliczyć miarę tego kąta:
cos∠DAB=a/2/a cos∠DAB=1/2
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość 1/2 dla kąta ostrego o mierze 60°, co należało udowodnić.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.