Parami różne punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i AC są równoległe, zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC
Zostanie wykazane, że prosta BE jest prostopadła do AC, co oznacza, że zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC.
## Krok 1: Kąt oparty na średnicy
Ponieważ BD jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tym łuku wynosi 90°.
W szczególności punkt E leży na okręgu, więc kąt ∠BED jest kątem wpisanym opartym na średnicy BD.
Zatem: ∠BED = 90°
## Krok 2: Wykorzystanie równoległości
Z założenia wiemy, że DE ∥ AC.
Kąty naprzemianległe przy prostych równoległych DE i AC przeciętych prostą BE (sieczną) są równe: ∠BED = ∠BEA + ∠AED = 90°
gdzie ∠AED to kąt między prostymi EA i ED.
## Krok 3: Kąty naprzemianległe
Rozważmy kąty utworzone przez sieczną przecinającą proste równoległe.
Ponieważ DE ∥ AC, to: ∠DEB = ∠EBC'
gdzie C' jest punktem na przedłużeniu AC lub samym C.
Lepiej: kąty odpowiadające przy prostych równoległych DE i AC przeciętych sieczną BE: ∠DEB = ∠BEx
gdzie x oznacza kąt między BE a AC.
## Krok 4: Prostopadłość BE i AC
Z kroku 1: ∠BED = 90°
Z własności kątów naprzemianległych dla prostych równoległych DE ∥ AC przeciętych sieczną BE:
Kąt między prostą BE a prostą DE jest równy kątowi między prostą BE a prostą AC (kąty naprzemianległe).
Oznacza to, że: ∠(BE, AC) = ∠BED = 90°
## Wniosek
Prosta BE jest prostopadła do prostej AC.
Ponieważ punkt B należy do trójkąta ABC, a prosta BE przechodzi przez wierzchołek B i jest prostopadła do boku AC, to prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka B na bok AC.
c.b.d.u.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.