Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60° (zobacz rysunek). Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=16√(3)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.
Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach 30°, 60°, 90°, odcinek o długości x będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
x=4:2 x=2
Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
a=2+6+2 a=10
Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie √(3) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako x, który jak już ustaliliśmy, ma długość równą 2. To oznacza, że w takim razie h=2√(3).
Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
P=1/2 · (a+b) · h P=1/2 · (10+6) · 2√(3) P=1/2 · 16 · 2√(3) P=16√(3)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.