Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ a, spełniona jest nierówność (a²+b²)/2 > ((a+b)/2)²
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
(a²+b²)/2 > ((a+b)/2)² (a²+b²)/2 > (a²+2ab+b²)/4 / · 4 2 · (a²+b²) > a²+2ab+b² 2a²+2b² > a²+2ab+b² a²+b² > 2ab a²-2ab+b² > 0 (a-b)² > 0
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że b ≠ a, co prowadzi nas do wniosku, że różnica a-b jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.