Kąt α jest ostry i tg α=2. Oblicz wartość wyrażenia sin² α.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4/5
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2022-32.png]
Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Z treści zadania wynika, że tgα=2. Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta α) ma długość 2x, a druga przyprostokątna ma długość x. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość:
(2x)²+x²=c² 4x²+x²=c² 5x²=c² c=√(5x²) c=-√(5x²)
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam c=√(5x²).
Krok 3. Obliczenie wartości sin²α.
Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α (która ma u nas długość 2x), względem przeciwprostokątnej (która ma długość c=√(5x²). Skoro tak, to:
sinα=2x/√(5x²)
Nas interesuje sin²α, zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis:
sin²α=(2x/√(5x²))² sin²α=(2x)²/(√(5x²))² sin²α=4x²/(5x²) sin²α=4/5
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.