Równania logarytmiczne na maturze - 5 metod rozwiązywania z przykładami

Równania logarytmiczne pojawiają się na maturze podstawowej prawie co roku. W zadaniach zamkniętych i otwartych łącznie dają zazwyczaj 3-5 punktów. Jeśli opanujesz 5 metod opisanych w tym artykule, zadania z logarytmami przestaną być problemem.

Na stronie Logarytmy - zadania maturalne znajdziesz pełną bazę zadań. Warto też przejrzeć artykuł logarytmy na maturze - wzory i własności.

Krok zerowy: dziedzina

Zanim zaczniesz rozwiązywać jakiekolwiek równanie logarytmiczne, wyznacz dziedzinę. To jest najczęstszy błąd maturzystów.

Logarytm $\log_a x$ istnieje tylko gdy:

• •$x > 0$ - argument musi być dodatni
• •$a > 0$ i $a \neq 1$ - podstawa musi być dodatnia i różna od jeden

Jeśli wychodzi ci rozwiązanie, które nie spełnia tych warunków - odrzucasz je. Po obliczeniu $x$ zawsze sprawdzasz, czy leży w dziedzinie.

Metoda 1: logarytm równa się liczbie

Najprostsza sytuacja. Masz równanie postaci:

$\log_a f(x) = c$

Korzystasz wprost z definicji logarytmu: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

Przekształcasz do:

$f(x) = a^c$

I rozwiązujesz zwykłe równanie algebraiczne.

Przykład 1. Rozwiąż $\log_2(x - 1) = 3$.

Dziedzina: $x - 1 > 0$, czyli $x > 1$.

Przekształcam z definicji:
$x - 1 = 2^3 = 8$
$x = 9$

Sprawdzam: $9 > 1$ - OK.

Odpowiedź: $x = 9$.

Przykład 2. Rozwiąż $\log_3(2x + 5) = 2$.

Dziedzina: $2x + 5 > 0$, czyli $x > -\frac{5}{2}$.

Przekształcam:
$2x + 5 = 3^2 = 9$
$2x = 4$
$x = 2$

Sprawdzam: $2 > -\frac{5}{2}$ - OK.

Odpowiedź: $x = 2$.

Metoda 2: logarytm równa się logarytmowi (ta sama podstawa)

Gdy po obu stronach stoi logarytm z identyczną podstawą:

$\log_a f(x) = \log_a g(x)$

Stosujesz "odlogarytmowanie" - skoro logarytm jest funkcją różnowartościową, dwa logarytmy o tej samej podstawie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich argumenty:

$f(x) = g(x)$

Pamiętaj: po wyznaczeniu $x$ sprawdzasz, czy oba argumenty są dodatnie dla tego $x$.

Przykład 3. Rozwiąż $\log_5(x + 3) = \log_5(2x - 1)$.

Dziedzina: $x + 3 > 0$ i $2x - 1 > 0$. Drugi warunek daje $x > \frac{1}{2}$ (ostrzejszy). Dziedzina: $x > \frac{1}{2}$.

Odlogarytmowuję:
$x + 3 = 2x - 1$
$4 = x$

Sprawdzam: $4 > \frac{1}{2}$ - OK.

Odpowiedź: $x = 4$.

Przykład 4. Rozwiąż $\log(x^2) = \log(3x - 2)$.

Dziedzina: $x^2 > 0$ (czyli $x \neq 0$) i $3x - 2 > 0$ (czyli $x > \frac{2}{3}$). Dziedzina: $x > \frac{2}{3}$.

Odlogarytmowuję:
$x^2 = 3x - 2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$
$x = 1 \quad \text{lub} \quad x = 2$

Sprawdzam oba:

• •$x = 1$: $1 > \frac{2}{3}$ - OK
• •$x = 2$: $2 > \frac{2}{3}$ - OK

Odpowiedź: $x \in \{1, 2\}$.

Metoda 3: podstawienie i równanie kwadratowe

Kiedy w równaniu pojawia się $(\log_a x)^2$ lub kilka logarytmów z tym samym argumentem, podstawiasz $t = \log_a x$. Dostaniesz równanie kwadratowe w zmiennej $t$.

Przykład 5. Rozwiąż $(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 = 0$.

Dziedzina: $x > 0$.

Podstawiam $t = \log_2 x$:
$t^2 - t - 6 = 0$
$(t - 3)(t + 2) = 0$
$t = 3 \quad \text{lub} \quad t = -2$

Wracam do zmiennej $x$:

• •$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$
• •$\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

Sprawdzam: $8 > 0$ i $\frac{1}{4} > 0$ - oba OK.

Odpowiedź: $x = 8$ lub $x = \frac{1}{4}$.

Przykład 6. Rozwiąż $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0$.

Dziedzina: $x > 0$.

Podstawiam $t = \log_3 x$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
$(t - 1)(t - 2) = 0$
$t = 1 \quad \text{lub} \quad t = 2$

Wracam do $x$:

• •$\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3$
• •$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9$

Odpowiedź: $x = 3$ lub $x = 9$.

Metoda 4: sprowadzenie do tej samej podstawy

Jeśli logarytmy mają różne podstawy, ale jedna jest potęgą drugiej, możesz je sprowadzić do jednej podstawy.

Wzór: $\log_{a^k} x = \frac{\log_a x}{k}$

Na przykład: $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}$ (bo $4 = 2^2$).

Przykład 7. Rozwiąż $\log_4 x = \log_2 x - 1$.

Dziedzina: $x > 0$.

Zamieniam $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}$ i podstawiam $t = \log_2 x$:
$\frac{t}{2} = t - 1$
$t = 2t - 2$
$2 = t$
$\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$

Sprawdzam: $4 > 0$ - OK.

Odpowiedź: $x = 4$.

Metoda 5: własności logarytmów - sklejanie i rozklejanie

Najważniejsze wzory:

$\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$
$\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$
$\log_a m^k = k \cdot \log_a m$

Używasz ich żeby sprowadzić sumę lub różnicę logarytmów do jednego logarytmu - a potem rozwiązujesz metodą 1.

Przykład 8. Rozwiąż $\log_3 x + \log_3(x - 6) = 3$.

Dziedzina: $x > 0$ i $x - 6 > 0$, więc $x > 6$.

Sklejam lewą stronę:
$\log_3[x(x - 6)] = 3$
$x(x - 6) = 3^3 = 27$
$x^2 - 6x - 27 = 0$
$\Delta = 36 + 108 = 144$
$\sqrt{\Delta} = 12$
$x = \frac{6 \pm 12}{2}$
$x_1 = 9, \quad x_2 = -3$

Sprawdzam w dziedzinie ($x > 6$):

• •$x = 9$: OK
• •$x = -3$: nie spełnia - odrzucam!

Odpowiedź: $x = 9$.

Przykład 9. Rozwiąż $\log_2(x + 1) - \log_2(x - 1) = 1$.

Dziedzina: $x + 1 > 0$ i $x - 1 > 0$, więc $x > 1$.

Korzystam ze wzoru na różnicę logarytmów:
$\log_2 \frac{x + 1}{x - 1} = 1$
$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$
$x + 1 = 2(x - 1)$
$x + 1 = 2x - 2$
$3 = x$

Sprawdzam: $3 > 1$ - OK.

Odpowiedź: $x = 3$.

Typowe pułapki na egzaminie

Pułapka 1: zapomniana dziedzina

Wychodzi ci $x = -5$ i wpisujesz odpowiedź. Tymczasem przy $x = -5$ argument logarytmu jest ujemny. Tracisz punkty za rozwiązanie, które wygląda poprawnie. Zawsze sprawdzaj dziedzinę.

Pułapka 2: $\log x^2 \neq (\log x)^2$

To dwa zupełnie różne wyrażenia:

• •$\log x^2 = 2\log x$ (wzór na potęgę)
• •$(\log x)^2$ - logarytm do kwadratu (metoda 3: podstawienie)

Pułapka 3: suma pod logarytmem

$\log_a(m + n) \neq \log_a m + \log_a n$

Wzór działa dla iloczynu, nie sumy. To jeden z najczęstszych błędów.

Pułapka 4: zmiana kierunku przy podstawie mniejszej od 1

Przy $0 < a < 1$ logarytm jest funkcją malejącą. W nierównościach to zmienia kierunek - ale w równaniach nie ma znaczenia. Więcej o tym przeczytasz w artykule nierówności logarytmiczne.

Powiązane tematy

Równania logarytmiczne łączą się z kilkoma innymi działami matury:

• •Funkcja wykładnicza - logarytm i funkcja wykładnicza to funkcje odwrotne. Jeśli umiesz jedno, szybciej rozumiesz drugie.
• •Równania i nierówności na maturze - kontekst wszystkich typów równań.
• •Konkretne zadania z bazy CKE: zadanie matura 2013, zadanie CKE 2025, zadanie treningowe.

Checklist - co musisz umieć

Następny krok Losuj kolejne zadanie