Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n ≥ 1 i n ≤ 30. a) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(30). P / F W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. P / F b) Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) F P b) Dnia 11., obsłużono 400 klientów
a) Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem. Wartość L(30) opisze nam liczbę klientów trzydziestego dnia, a nie sumę wszystkich klientów, którzy zostali obsłużeni w ciągu 30 dni.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc poznać liczbę klientów obsłużonych trzeciego dnia, wystarczy podstawić do wzoru n=3, zatem:
L(3)=-3²+22 · 3+279 L(3)=-9+66+279 L(3)=336
Zdanie jest więc prawdą.
b) Krok 1. Wyznaczenie dnia, w którym było najwięcej klientów.
Liczba obsługiwanych klientów jest opisana funkcją kwadratową. Wiemy, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, która w tym przypadku będzie miała ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik a=-1. To oznacza, że swoją największą wartość ta funkcja będzie przyjmowała w wierzchołku.
Chcąc się dowiedzieć, którego dnia było najwięcej klientów, wystarczy obliczyć tzw. pierwszą współrzędną wierzchołka (zwyczajowo opisywaną jako p). Skorzystamy ze wzoru:
p=-b/(2a)
Ze wzoru L(n)=-n²+22n+279 odczytujemy, że współczynniki a=-1 oraz b=22, zatem:
p=-22/(2 · (-1)) p=-22/-2 p=11
Krok 2. Wyznaczenie liczby klientów jedenastego dnia.
Liczbę klientów jedenastego dnia możemy obliczyć podstawiając n=11 do wzoru funkcji:
L(11)=-(11)²+22 · 11+279 L(11)=-121+242+279 L(11)=400
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.