Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cos α= √(2)/3 . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.15√(2)
- B.45
- C.5√(2)
- D.10
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on kwadrat o boku 15, a krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Przekątna graniastosłupa, oznaczona dalej przez s, łączy wierzchołek dolnej podstawy z przeciwległym wierzchołkiem podstawy górnej. Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest przekątna kwadratu, oznaczona dalej przez d, a kąt α to kąt między tą przekątną a jej rzutem. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą więc trójkąt prostokątny, w którym s jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy d jest przyprostokątną leżącą przy kącie α, a krawędź boczna jest przyprostokątną leżącą naprzeciwko tego kąta.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku a=15. Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku a ma długość a√(2), zatem w naszym przypadku d=15√(2).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
cosα=d/s
Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
√(2)/3=15√(2)/s
To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
√(2) · s=3 · 15√(2) √(2) · s=45√(2) s=45
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.