Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.2
- B.4
- C.5/2
- D.13/3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Punkt przecięcia dwusiecznych.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku okręgu wpisanego w ten trójkąt, więc odległość x punktu P od każdego boku jest równa promieniowi r tego okręgu.
Krok 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c promień okręgu wpisanego jest równy r=(a+b-c)/2:
x=r=(24+10-26)/2=8/2=4
Ten sam wynik daje porównanie pól: P=1/2 · 24 · 10=120 oraz P=1/2 · r · (24+10+26)=30r, skąd r=4.
Odpowiedź: B.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.