Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y=-2x+16. Wierzchołki B i C mają współrzędne B=(3,10) i C=(-2,3). Oblicz współrzędne wierzchołka A i pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A=(33/5,14/5), P_(ABC)=153/5
Krok 1. Prosta zawierająca wysokość z wierzchołka C.
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową, więc jej spodek D jest środkiem odcinka AB. Prosta CD jest prostopadła do prostej y=-2x+16, więc jej współczynnik kierunkowy a spełnia warunek a · (-2)=-1, czyli a=1/2. Prosta przechodzi przez punkt C=(-2,3):
3=1/2 · (-2)+b b=4
Prosta CD ma równanie y=1/2 x+4.
Krok 2. Środek podstawy D.
Punkt D jest punktem przecięcia prostych AB i CD:
1/2 x+4 =-2x+16 5/2 x =12 x =24/5
y=-2 · 24/5+16=32/5
Zatem D=(24/5,32/5).
Krok 3. Współrzędne wierzchołka A.
Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc:
(x_A+3)/2=24/5 i (y_A+10)/2=32/5
x_A =48/5-3=33/5 y_A =64/5-10=14/5
Zatem A=(33/5,14/5). Sprawdzenie: -2 · 33/5+16=14/5, więc punkt A leży na prostej AB.
Krok 4. Długości podstawy i wysokości.
|AB| =√((3-33/5)²+(10-14/5)²)= =√(324/25+1296/25)= =√(1620/25)=18√(5)/5
|CD| =√((24/5+2)²+(32/5-3)²)= =√(1156/25+289/25)= =√(1445/25)=17√(5)/5
Krok 5. Pole trójkąta ABC.
P_(ABC) =1/2 · |AB| · |CD|= =1/2 · 18√(5)/5 · 17√(5)/5= =1/2 · 306 · 5/25=153/5
Odpowiedź: A=(33/5,14/5), P_(ABC)=153/5.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.