Równanie wysokości i środkowej trójkąta w układzie współrzędnych - spodek wysokości, jej długość i zadania maturalne

Wysokość trójkąta w układzie współrzędnych leży na prostej, która przechodzi przez wierzchołek i jest prostopadła do przeciwległego boku. Jeśli bok $AB$ ma współczynnik kierunkowy $a$, to prosta zawierająca wysokość z wierzchołka $C$ ma współczynnik $-\frac{1}{a}$ i przechodzi przez punkt $C$. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc jej równanie to zwykła prosta przez dwa punkty. Spodek wysokości to punkt przecięcia prostej zawierającej wysokość z prostą zawierającą bok, a długość wysokości to odległość wierzchołka od tego spodka.

To jeden z typowych schematów zadań otwartych z geometrii analitycznej na maturze podstawowej. W czerwcu 2012 (zadanie 32, 4 punkty) trzeba było wyznaczyć spodek wysokości, w czerwcu 2017 (zadanie 33, 4 punkty) odtworzyć wierzchołek trójkąta równoramiennego z prostej zawierającej wysokość, a w sierpniu 2018 (zadanie 31, 2 punkty) napisać równanie środkowej. Każde z tych zadań składa się z tych samych trzech czynności: prosta przez dwa punkty, prosta prostopadła przez punkt i punkt przecięcia dwóch prostych. Poniżej masz schemat, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku (pięć z nich pochodzi z arkuszy) i pułapki, na których najłatwiej stracić punkt.

Wysokość, środkowa i symetralna boku: czym się różnią

Wysokość i środkowa wychodzą z tego samego wierzchołka, ale kończą się w różnych miejscach. Wysokość z wierzchołka $C$ pada na prostą $AB$ pod kątem prostym, a środkowa z wierzchołka $C$ trafia w środek boku $AB$. W geometrii analitycznej ta różnica decyduje o tym, czego potrzebujesz: przy wysokości kierunku boku, przy środkowej jego środka.

• •Wysokość $CD$: odcinek od wierzchołka $C$ do prostej $AB$, prostopadły do niej. Punkt $D$ to spodek wysokości. Prosta zawierająca wysokość jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez $C$.
• •Środkowa $CM$: odcinek od wierzchołka $C$ do środka $M$ boku $AB$. Prosta zawierająca środkową przechodzi przez $C$ i $M$.
• •Symetralna boku $AB$: prosta prostopadła do $AB$, przechodząca przez jego środek. Nie musi przechodzić przez żaden wierzchołek. Opisuję ją osobno we wpisie o symetralnej odcinka.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę (z wierzchołka, w którym schodzą się ramiona) pokrywa się ze środkową i leży na symetralnej podstawy. Na tym fakcie stoją dwa z przykładów niżej. W trójkącie równobocznym tak jest dla każdego wierzchołka. Trzy środkowe każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, czyli w środku ciężkości trójkąta, który dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka.

Jak wyznaczyć równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta

Żeby wyznaczyć równanie prostej zawierającej wysokość z wierzchołka $C$, policz współczynnik kierunkowy boku $AB$, odwróć go i zmień znak, a potem poprowadź prostą o tym współczynniku przez punkt $C$. Gdy potrzebny jest spodek wysokości, rozwiąż układ równań tej prostej i prostej $AB$.

Rozpisane na kroki:

1. 1.Współczynnik kierunkowy boku: $a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. 2.Współczynnik wysokości: $a_h = -\frac{1}{a_{AB}}$, bo iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy $-1$. Skąd ten warunek, wyjaśniam we wpisie o prostych równoległych i prostopadłych.
3. 3.Prosta przez $C$: $y = a_h(x - x_C) + y_C$.
4. 4.Spodek $D$: punkt przecięcia dwóch prostych, czyli prostej $AB$ i prostej z kroku 3.
5. 5.Długość wysokości: $|CD|$ ze wzoru na odległość między dwoma punktami.

Dwa przypadki szczególne załatwiasz bez liczenia współczynników. Gdy bok $AB$ jest poziomy ($y_A = y_B$), wysokość z $C$ jest pionowa i ma równanie $x = x_C$. Gdy bok jest pionowy ($x_A = x_B$), wysokość jest pozioma i ma równanie $y = y_C$.

Jak wyznaczyć równanie środkowej trójkąta

Równanie prostej zawierającej środkową z wierzchołka $C$ wyznaczasz w dwóch krokach: liczysz środek $M$ boku $AB$ jako średnie współrzędnych jego końców, a potem piszesz równanie prostej przechodzącej przez $C$ i $M$. Prostopadłość nie ma tu żadnego znaczenia.

Środek odcinka liczysz tak jak we wpisie o współrzędnych środka odcinka, a prostą przez dwa punkty tak jak w równaniu prostej przez dwa punkty. Jeśli wierzchołek i środek boku mają tę samą pierwszą współrzędną, środkowa jest pionowa i ma równanie $x = x_C$.

Wzory

Dwa ostatnie wzory dają długość wysokości bez szukania spodka, co jest wygodne, gdy zadanie pyta tylko o długość. Inne sposoby liczenia pola trójkąta z wierzchołków zebrałem we wpisie o ośmiu wzorach na pole trójkąta.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy o wysokościach, środkowych i osi symetrii trójkąta w układzie współrzędnych. Zacznij od środkowej, bo to tylko prosta przez dwa punkty, a potem przejdź do wysokości z brakującymi wierzchołkami. Pełną listę zadań z tego działu znajdziesz na stronie Geometria analityczna, a wzory na wysokość w samej planimetrii, bez układu współrzędnych, zebrałem we wpisie jak obliczyć wysokość trójkąta.

• CKE PP treningoweZadanie 642 pkt
  Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową $CD$ trójkąta $ABC$, którego wierzchołkami są punkty $A=(-2, -1)$, $B = (6, 1)$, $C = (7, 10)$.
• Matura próbna Operon listopad 2018Zadanie 334 pkt
  Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $A=(-9,8)$. Bok $BC$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y=-2x+38$. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $B$ ma równanie $3x+2y-61=0$. Wyznacz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$.
• Matura sierpień 2015Zadanie 324 pkt
  Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A = (−2, 2)$, $B = (6, − 2)$, $C = (10,6)$.
• Matura sierpień 2020Zadanie 221 pkt
  Dane są punkty $A = (4,1)$, $B = (1,3)$, $C = (4,-1)$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe
• Matura próbna Operon listopad 2011Zadanie 201 pkt
  Punkty $A=(-2,-1)$ i $B=(2,2)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $ABC$. Wysokość tego trójkąta jest równa
• Matura próbna styczeń 2014Zadanie 161 pkt
  Prostą prostopadłą do prostej $y=\frac{1}{2}x-1$ i przechodzącą przez punkt $A=(1,1)$ opisuje równanie

Następny krok Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej

Najczęstsze pytania