W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą
Odpowiedzi do wyboru
- A.6
- B.2√(3)
- C.4√(3)
- D.6√(3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Długość ramion.
Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta 120° dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach 30°, 60°, 90° i dzieli podstawę na połowy. W każdym z nich przyprostokątna długości 6 leży naprzeciw kąta 60°, a ramię b jest przeciwprostokątną:
6/b =sin 60°=√(3)/2 b =12/√(3)=4√(3)
Krok 2. Wysokość opuszczona na podstawę.
Ta wysokość leży naprzeciw kąta 30°, więc jest równa połowie ramienia:
h₁=1/2 · 4√(3)=2√(3)
Krok 3. Wysokość opuszczona na ramię.
Pole trójkąta jest równe 1/2 · 12 · 2√(3)=12√(3), więc wysokość h₂ opuszczona na ramię spełnia równanie:
1/2 · 4√(3) · h₂=12√(3) h₂=6
Krok 4. Wybór najkrótszej wysokości.
Najkrótsza jest wysokość opuszczona na najdłuższy bok: 2√(3) ≈ 3,46 < 6.
Odpowiedź: B.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.