W trójkącie ABC boki BC i AC są równej długości. Prosta k jest prostopadła do podstawy AB tego trójkąta i przecina boki AB oraz BC w punktach - odpowiednio - D i E. Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED. Oblicz |CE|/|EB|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |CE|/|EB|=2
Krok 1. Pole trójkąta FBC.
Niech F oznacza spodek wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C. Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość CF dzieli go na dwa przystające trójkąty o równych polach. Czworokąt ADEC i trójkąt BED składają się na cały trójkąt ABC:
P_(ABC) =P_(ADEC)+P_(BED)= =17P_(BED)+P_(BED)=18P_(BED)
Stąd:
P_(FBC)=1/2 P_(ABC)=9P_(BED)
Krok 2. Podobieństwo trójkątów BED i BCF.
Prosta k i wysokość CF są prostopadłe do AB, więc są równoległe. Trójkąty BED i BCF mają wspólny kąt przy wierzchołku B oraz kąty proste przy wierzchołkach D i F, więc są podobne (cecha kąt, kąt, kąt).
Krok 3. Skala podobieństwa.
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
P_(FBC)/P_(BED)=(|BC|/|EB|)² =9 |BC|/|EB| =3
Krok 4. Obliczenie szukanego stosunku.
Punkt E leży na boku BC, więc |BC|=|BE|+|EC|=3|EB|, skąd |CE|=2|EB|:
|CE|/|EB|=2
Odpowiedź: |CE|/|EB|=2.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.