W każdym n–kącie wypukłym (n ≥ 3) liczba przekątnych jest równa n(n-3)/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest
Odpowiedzi do wyboru
- A.siedmiokąt.
- B.dziesięciokąt.
- C.dwunastokąt.
- D.piętnastokąt.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Ułożenie równania.
Chcemy, by liczba przekątnych była o 25 większa od liczby boków, więc musimy rozwiązać następujące równanie:
n+25=n(n-3)/2 2n+50=n(n-3) 2n+50=n²-3n -n²+5n+50=0
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=-1, b=5, c=50
Δ=b²-4ac=5²-4 · (-1) · 50=25-(-200)=225 √(Δ)=√(225)=15
n₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-5-15)/(2 · (-1))=-20/-2=10 n₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-5+15)/(2 · (-1))=10/2=-5
Ujemny wynik musimy odrzucić, bo liczba kątów w wielokącie jest dodatnia, zatem zostaje nam n=10. To oznacza, że poszukiwanym wielokątem jest dziesięciokąt.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.