Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: |∢SBC| = 60°, |∢BCD| = 110°, |∢CDA| = 90° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że miara α kąta DAS jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.25°
- B.30°
- C.35°
- D.40°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest połączenie punktów S oraz C, dzięki któremu uzyskamy trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny:
A skąd właściwie wiadomo, że trójkąt SBC jest równoboczny? Odcinki o długości CS oraz BS są równe długości promienia okręgu, więc już na pewno wiemy, że ten trójkąt jest przynajmniej równoramienny o podstawie BC. Kąty przy podstawie w trójkątach równoramiennych mają jednakową miarę, zatem i kąt BCS=60°, a więc i trzeci kąt CSB=60°.
To jeszcze powiedzmy sobie skąd wiemy, że odcinek CS leży na tej samej prostej co SA (bo tak prawdę mówiąc, to nie jest to do końca takie oczywiste, że powstanie nam tutaj trójkąt ACD). Możemy być tego pewni, ponieważ mamy tutaj klasyczną sytuację, w której kąt prosty jest kątem wpisanym, zatem musi on się opierać na średnicy okręgu. Stąd też możemy mieć pewność, że powstaje nam trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest właśnie średnica okręgu.
Krok 2. Obliczenie miary kąta DCS.
Zgodnie z informacją wynikającą z rysunku możemy stwierdzić, że:
|∢DCS|=110°-60°=50°
Krok 3. Obliczenie miary kąta α.
Spoglądamy teraz na trójkąt CDA. Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem:
α=180°-90°-50°
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.