Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < (a+c)/(b+c)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.
Z treści zadania wiemy, że liczby a, b oraz c są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez b otrzymamy:
a/b < (a+c)/(b+c) / · b a < (ab+bc)/(b+c) / · (b+c) a · (b+c) < ab+bc ab+ac < ab+bc /-ab ac < bc
I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:
I sposób:
Mając nierówność ac < bc możemy obustronnie odjąć bc i otrzymać informację, że:
ac-bc < 0 c(a-b) < 0
Z treści zadania wiemy, że a < b, więc wartość a-b znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba c jest dodatnia oraz a-b jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.
II sposób:
Mając postać ac < bc możemy wywnioskować, że skoro a < b i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn ac musi być mniejszy od bc, co także należało udowodnić.
III sposób:
Mając postać ac < bc możemy podzielić obie strony przez c, otrzymując a < b, co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.