Punkty A =(−20, 12) i B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C=(0,27), Obw=50+9√(10)
I sposób - porównując długości odcinków.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu C.
Z treści zadania wynika, że długość odcinka AC jest dokładnie taka sama jak BC (są to ramiona naszego trójkąta równoramiennego). Możemy więc skorzystać ze wzoru na długość odcinka i zapisać, że w takim razie:
|AC|=|BC| √((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²)=√((x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²) /² (x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²=(x_C-x_B)²+(y_C-y_B)² (x_C-(-20))²+(y_C-12)²=(x_C-7)²+(y_C-3)²
Mamy równanie z dwoma niewiadomymi, ale z treści zadania wypływa jeszcze jedna ważna informacja - wierzchołek C leży na osi Oy, a to oznacza, że współrzędna x_C na pewno jest równa 0. To umożliwia nam doprowadzenie całego zapisu do równania z jedną niewiadomą:
(0-(-20))²+(y_C-12)²=(0-7)²+(y_C-3)² 20²+(y_C-12)²=(-7)²+(y_C-3)² 400+y_C²-24y_C+144=49+y_C²-6y_C+9 -24y_C+544=-6y_C+58 -18y_C=-486 y_C=27
W ten sposób poznaliśmy brakującą współrzędną y naszego punktu C, stąd też możemy zapisać, że C=(0;27).
Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Znamy już wszystkie współrzędne wierzchołków trójkąta ABC, zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy obliczyć miary każdego z boków.
Podstawa:
|AB|=√((7-(-20))²+(3-12)²)=√(27²+(-9)²)=√(729+81)=√(810)=9√(10)
Ramię:
|AC|=√((0-(-20))²+(27-12)²)=√(20²+15²)=√(400+225)=√(625)=25
Ramiona mają jednakową długość, więc także |BC|=25.
Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znając długości wszystkich boków możemy zapisać, że:
Obw=9√(10)+25+25=50+9√(10)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.