Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√(3). Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC - odpowiednio - w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 2/3. Oblicz długość boku trójkąta AKL.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |AK|=4
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Choć w tym zadaniu rysunek nie jest może priorytetem, to zobrazujmy sobie tę sytuację, tak aby zrozumieć co liczymy.
Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta ABC.
Skoro pole trójkąta ABC jest równe 9√(3), to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
P=a²√(3)/4 9√(3)=a²√(3)/4 36√(3)=a²√(3) a²=36 a=6 a=-6
Długość boku musi być oczywiście dodatnia, zatem zostaje nam a=6.
Krok 3. Obliczenie długości boków trójkąta AKL.
Z treści zadania wynika, że stosunek długości boków trójkątów ABC i AKL wynosi 2/3. Skoro trójkąt AKL jest mniejszy, to:
|AK|/|AB|=2/3 |AK|/6=2/3 |AK|=2/3 · 6=4
Skoro trójkąt AKL jest trójkątem podobnym, to tak jak trójkąt ABC musi być równoboczny. To oznacza, że wszystkie boki trójkąta AKL mają długość równą 4.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.