Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Kąt prosty przy wierzchołku C.
Bok AB jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC, więc kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na półokręgu. Taki kąt jest prosty, zatem AC ⊥ BC.
Krok 2. Równoległość prostych AC i SD.
Odcinek SD jest zawarty w symetralnej boku BC, więc SD ⊥ BC. Dwie proste prostopadłe do tej samej prostej BC są równoległe, zatem AC ∥ SD.
Krok 3. Kąty naprzemianległe.
Prosta AD przecina proste równoległe AC i SD, więc kąty naprzemianległe przy punktach A i D są równe:
∢CAD=∢ADS
Krok 4. Trójkąt równoramienny ASD.
Odcinki SA i SD są promieniami okręgu, więc trójkąt ASD jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie AD są równe:
∢SAD=∢ADS
Krok 5. Połączenie obu równości.
Z dwóch powyższych równości wynika, że ∢CAD=∢SAD. Punkt S leży na odcinku AB, więc kąt SAD to kąt BAD. Półprosta AD dzieli zatem kąt CAB na dwa kąty o równych miarach.
Wniosek: odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB, co należało wykazać.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.