Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek a < 4 i b < 4, to ab+16 > 4a+4b.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Przeniesienie wyrazów na jedną stronę.
Nierówność ab+16 > 4a+4b jest równoważna nierówności:
ab-4a-4b+16 > 0
Krok 2. Rozkład na czynniki.
Grupowanie wyrazów daje postać iloczynową:
ab-4a-4b+16 =a(b-4)-4(b-4) =(a-4)(b-4)
Zatem nierówność z treści zadania jest równoważna nierówności (a-4)(b-4) > 0.
Krok 3. Znak iloczynu.
Z założeń a < 4 i b < 4 wynika, że a-4 < 0 oraz b-4 < 0. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc (a-4)(b-4) > 0, a stąd ab+16 > 4a+4b.
Wniosek: dla liczb rzeczywistych a < 4 i b < 4 zachodzi nierówność ab+16 > 4a+4b, co należało wykazać.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.