W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2√(13)/13
Krok 1. Oznaczenia.
Punkt P jest środkiem podstawy i spodkiem wysokości SP. Niech R będzie środkiem krawędzi BC. Kąt nachylenia ściany bocznej BCS do podstawy to kąt SRP, a kąt nachylenia krawędzi bocznej SB do podstawy to kąt SBP, którego miarę oznacza się β.
Krok 2. Odległość środka podstawy od krawędzi.
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a=8. Odcinek PR jest wysokością trójkąta równobocznego BCP:
|PR|=a√3/2=8√3/2=4√3
Krok 3. Wysokość ostrosłupa.
W trójkącie prostokątnym SPR kąt przy wierzchołku R ma miarę α=60°:
|SP|=|PR|60°=4√3 · √3=12
Krok 4. Długość krawędzi bocznej.
Odcinek PB jest bokiem trójkąta równobocznego BCP, więc |PB|=8. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SPB:
|SB| =√(|SP|²+|PB|²) =√(144+64) =√(208)=4√(13)
Krok 5. Cosinus kąta β.
cosβ=|PB|/|SB|=8/(4√(13))=2/√(13)=2√(13)/13
Odpowiedź: cosβ=2√(13)/13.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.