Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD|²+|BD|²=|BC|²+|AC|².
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Kąty wpisane oparte na średnicy.
Kąty ADB i ACB są kątami wpisanymi w okrąg opartymi na średnicy AB, więc oba są proste. Trójkąty ADB i ACB są zatem prostokątne, a odcinek AB jest w każdym z nich przeciwprostokątną.
Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach.
|AD|²+|BD|²=|AB|²
|BC|²+|AC|²=|AB|²
Krok 3. Porównanie obu równości.
Lewe strony obu równości są równe tej samej liczbie |AB|², więc:
|AD|²+|BD|²=|BC|²+|AC|²
Wniosek: Równość |AD|²+|BD|²=|BC|²+|AC|² jest prawdziwa, co należało wykazać.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.