Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa 27√(3). Długość krawędzi AB podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P_c=9√(3)+18√(21)
Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku a=6:
P_p=a²√(3)/4=36√(3)/4=9√(3)
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Niech H=|SO| oznacza wysokość ostrosłupa. Ze wzoru na objętość:
V=1/3 P_p · H=1/3 · 9√(3) · H=3√(3) H
3√(3) H=27√(3), H=9
Krok 3. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Niech E będzie środkiem krawędzi AB. Punkt O jest środkiem trójkąta równobocznego, więc odcinek OE ma długość równą 1/3 wysokości podstawy:
|OE|=1/3 · a√(3)/2=1/3 · 6√(3)/2=√(3)
Trójkąt SOE jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku O, więc z twierdzenia Pitagorasa:
|SE|² =|SO|²+|OE|²=81+3=84 |SE| =√(84)=2√(21)
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Ściany boczne to trzy przystające trójkąty o podstawie 6 i wysokości 2√(21):
P_b=3 · 1/2 · 6 · 2√(21)=18√(21)
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
P_c =P_p+P_b=9√(3)+18√(21) =9(√(3)+2√(21))
Odpowiedź: P_c=9√(3)+18√(21).
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.