Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3x²+5y²-4xy ≥ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Przekształcenie lewej strony nierówności.
Składnik 3x² rozkłada się na x²+2x², a składnik 5y² na 4y²+y², dzięki czemu powstaje kwadrat różnicy:
3x²+5y²-4xy= =(x²-4xy+4y²)+2x²+y² =(x-2y)²+2x²+y²
Krok 2. Uzasadnienie nierówności.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc (x-2y)² ≥ 0, 2x² ≥ 0 i y² ≥ 0. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna:
(x-2y)²+2x²+y² ≥ 0
Wniosek: Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi nierówność 3x²+5y²-4xy ≥ 0, co należało wykazać.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.