W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki DB oraz DE mają równe długości (zobacz rysunek). Wykaż, że |∢CAB|=2 · |∢ABE|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Oznaczenia.
Niech |∢CAB|=α oraz |∢ABE|=β. Teza ma postać α=2β.
Krok 2. Trójkąt ADE jest równoramienny.
Odcinek CD jest wysokością, więc trójkąt ADC jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku D. Odcinek BE jest środkową, więc punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC tego trójkąta. Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, zatem:
|AE|=|DE|=|CE|
Trójkąt ADE jest więc równoramienny i |∢ADE|=|∢EAD|=α.
Krok 3. Trójkąt DBE jest równoramienny.
Z równości |DB|=|DE| wynika, że kąty przy podstawie BE są równe: |∢DEB|=|∢DBE|=β.
Krok 4. Kąt zewnętrzny trójkąta DBE.
Kąty ADE i EDB są przyległe, więc kąt ADE jest kątem zewnętrznym trójkąta DBE przy wierzchołku D. Miara kąta zewnętrznego jest równa sumie miar dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych:
α=|∢ADE| =|∢DEB|+|∢DBE| =β+β=2β
Wniosek: |∢CAB|=α=2β=2 · |∢ABE|, co należało wykazać.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.