Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD, punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD, |CF|=1/2 · |EB|=x, gdzie x ∈ (0,2) (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF. Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x ∈ (0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P(x)=x²-2x+8, x=1
Krok 1. Długości odcinków.
Z warunków zadania |AD|=|DC|=4, |CF|=x, |BF|=4-x, |EB|=2x oraz |AE|=4-2x. Dla x ∈ (0,2) wszystkie te długości są dodatnie.
Krok 2. Pola trzech trójkątów prostokątnych.
P_(EBF)=1/2 · 2x · (4-x)=4x-x²
P_(FCD)=1/2 · 4 · x=2x
P_(DAE)=1/2 · 4 · (4-2x)=8-4x
Krok 3. Wzór funkcji P.
Pole trójkąta DEF to pole kwadratu pomniejszone o pola tych trzech trójkątów:
P(x) =4²-(4x-x²+2x+8-4x) =16-(-x²+2x+8) =x²-2x+8
Wzór obowiązuje dla x ∈ (0,2).
Krok 4. Najmniejsza wartość funkcji.
Wykresem funkcji P jest fragment paraboli o ramionach skierowanych do góry. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:
p=-(-2)/(2 · 1)=1 ∈ (0,2)
Funkcja P przyjmuje więc najmniejszą wartość dla x=1, a ta wartość to P(1)=1-2+8=7.
Odpowiedź: P(x)=x²-2x+8 dla x ∈ (0,2), a pole trójkąta DEF jest najmniejsze dla x=|CF|=1.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.