Funkcja f jest określona następująco: f(x)= 4/3 x+14/3 dla x ∈ [-5,-2) 3/4 x+3/2 dla x ∈ [-2,2] -3x+9 dla x ∈ (2,4) Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. 12.1. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Funkcja f ma dokładnie …… miejsca zerowe. 2. Funkcja f osiąga największą wartość dla argumentu …… . 12.2. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział …… . 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział …… .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 12.1) 1. 3; 2. 2 12.2) 1. [-5,4); 2. [-7/2,3]
Krok 1. Miejsca zerowe funkcji (12.1, zdanie 1).
Na przedziale [-5,-2) równanie 4/3 x+14/3=0 daje x=-7/2, a -7/2 ∈ [-5,-2).
Na przedziale [-2,2] równanie 3/4 x+3/2=0 daje x=-2, a -2 ∈ [-2,2].
Na przedziale (2,4) równanie -3x+9=0 daje x=3, a 3 ∈ (2,4).
Funkcja f ma więc dokładnie 3 miejsca zerowe, co zgadza się z wykresem.
Krok 2. Argument, dla którego funkcja osiąga największą wartość (12.1, zdanie 2).
Najwyżej położonym punktem wykresu jest (2,3), bo f(2)=3/4 · 2+3/2=3. Na przedziale [-5,-2) wartości funkcji są mniejsze od 2 (punkt (-2,2) nie należy do wykresu), a na przedziale (2,4) funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 3. Największa wartość 3 jest więc przyjmowana dla argumentu 2.
Krok 3. Dziedzina funkcji (12.2, zdanie 1).
Wzór funkcji jest podany na przedziałach [-5,-2), [-2,2] i (2,4), a ich suma to przedział [-5,4). Na wykresie punkt (-5,-2) jest zamalowany, a punkt (4,-3) nie jest.
Krok 4. Argumenty, dla których f(x) ≥ 0 (12.2, zdanie 2).
Na przedziale [-5,-2) funkcja rośnie, więc f(x) ≥ 0 dla x ∈ [-7/2,-2).
Na przedziale [-2,2] funkcja rośnie od 0 do 3, więc f(x) ≥ 0 na całym tym przedziale.
Na przedziale (2,4) nierówność -3x+9 ≥ 0 zachodzi dla x ∈ (2,3].
Suma tych zbiorów to:
[-7/2,-2) ∪ [-2,2] ∪ (2,3]= =[-7/2,3]
Odpowiedź: 12.1) 1. 3; 2. 2; 12.2) 1. [-5,4); 2. [-7/2,3].
Funkcje: Dziedzina i zbiór wartości, odczytywanie własności z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność i przesunięcia wykresu.