Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 liczba 7^n+7^(n+1)+7^(n+2) jest podzielna przez 19.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Rozpisanie potęg o wspólnej podstawie.
Z własności działań na potęgach 7^(n+1)=7^n · 7 oraz 7^(n+2)=7^n · 7², więc:
7^n+7^(n+1)+7^(n+2)= =7^n+7^n · 7+7^n · 7²
Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
7^n+7^n · 7+7^n · 7²= =7^n · (1+7+7²)= =7^n · 57=19 · 3 · 7^n
Krok 3. Uzasadnienie podzielności.
Dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 liczba 3 · 7^n jest liczbą całkowitą, więc badana liczba jest iloczynem liczby 19 i liczby całkowitej.
Wniosek: Liczba 7^n+7^(n+1)+7^(n+2) jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0, co należało wykazać.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.