Odcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 4√(3). Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=18√(3)π, P_c=18π+12√(3)π
Krok 1. Trójkąt prostokątny ABD.
Odcinek AD jest wysokością walca, więc jest prostopadły do podstawy, a w szczególności do średnicy AB. Trójkąt ABD jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku A. Niech r oznacza promień podstawy, a H wysokość walca. Wtedy |AB|=2r i |AD|=H.
Krok 2. Obliczenie wysokości walca.
sin 30°=H/(4√(3)) H=4√(3) · 1/2=2√(3)
Krok 3. Obliczenie promienia podstawy.
cos 30°=2r/(4√(3)) 2r=4√(3) · √(3)/2=6 r=3
Krok 4. Obliczenie objętości.
V=πr²H=π · 3² · 2√(3)=18√(3)π
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
P_c =2πr²+2πrH =2π · 9+2π · 3 · 2√(3) =18π+12√(3)π
Odpowiedź: V=18√(3)π, P_c=18π+12√(3)π.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.