Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Odcinek pomocniczy.
Niech a oznacza bok trójkąta równobocznego ABC. Przez punkt M prowadzi się odcinek MD równoległy do boku AB, gdzie punkt D leży na boku BC.
Krok 2. Trójkąt MDC jest równoboczny.
Odcinek MD jest równoległy do AB, więc kąty CMD i CDM są równe odpowiednio kątom CAB i CBA, czyli mają po 60°. Trójkąt MDC ma trzy kąty po 60°, zatem |MD|=|DC|=|CM|.
Krok 3. Równość odcinków BD i CN.
|BD| =|BC|-|DC| =a-|CM|=|AC|-|CM| =|AM|=|CN|
Krok 4. Równość kątów przy wierzchołkach D i C.
|∢BDM| =180°-|∢CDM| =120° |∢MCN| =180°-|∢ACB| =120°
Krok 5. Przystawanie trójkątów BDM i MCN.
Trójkąty BDM i MCN mają równe boki |BD|=|CN| i |DM|=|CM| oraz równe kąty zawarte między tymi bokami (po 120°). Na mocy cechy bok-kąt-bok są przystające, więc ich trzecie boki też są równe: |BM|=|MN|.
Wniosek: |BM|=|MN|, co należało wykazać.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.