Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(1,8) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (x-5)²+(y-5)²=25 lub (x-13)²+(y-13)²=169
Krok 1. Położenie środka okręgu.
Okrąg styczny do obu osi układu współrzędnych leży w całości w jednej ćwiartce. Punkt A=(1,8) leży w pierwszej ćwiartce, więc środek okręgu też. Odległość środka od każdej z osi jest równa promieniowi r, zatem środek to S=(r,r), gdzie r > 0, a równanie okręgu ma postać:
(x-r)²+(y-r)²=r²
Krok 2. Warunek przejścia okręgu przez punkt A.
Po podstawieniu współrzędnych punktu A=(1,8):
(1-r)²+(8-r)²=r²
Po rozwinięciu kwadratów (1-r)²=1-2r+r² oraz (8-r)²=64-16r+r² i redukcji wyrazów podobnych:
2r²-18r+65 =r² r²-18r+65 =0
Krok 3. Rozwiązanie równania kwadratowego.
Δ=(-18)²-4 · 1 · 65 =324-260=64 √(Δ) =8
r₁=(18-8)/2=5, r₂=(18+8)/2=13
Krok 4. Równania okręgów.
Oba promienie są dodatnie, więc warunki zadania spełniają dwa okręgi:
(x-5)²+(y-5)²=25 (x-13)²+(y-13)²=169
Odpowiedź: (x-5)²+(y-5)²=25 lub (x-13)²+(y-13)²=169.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.