Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120°, |AS|=|CS|=10 i |BS|=|DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: sinβ=√(22)/√(23)=√(506)/23
Krok 1. Spodek wysokości ostrosłupa.
Niech O będzie spodkiem wysokości SO. Z równości |AS|=|CS| i twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AOS i COS wynika |AO|=|CO|, więc O leży na symetralnej odcinka AC, czyli na przekątnej BD. Tak samo z |BS|=|DS| punkt O leży na przekątnej AC. Spodek wysokości jest więc punktem przecięcia przekątnych rombu.
Krok 2. Długości przekątnych rombu.
Kąt ABC ma miarę 120°, więc kąt BCD ma miarę 60° i trójkąt BCD jest równoboczny. Stąd |BD|=4, a |OC| jest wysokością trójkąta równobocznego o boku 4:
|BD| =4 |AC| =2|OC|=2 · 4√(3)/2=4√(3)
Krok 3. Wysokość ostrosłupa.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, gdzie |AO|=2√(3):
h² =|AS|²-|AO|² =10²-(2√(3))² =100-12=88 h =2√(22)
Krok 4. Długość krawędzi BS.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BOS, gdzie |BO|=2:
|BS|² =h²+|BO|² =88+4=92 |BS| =2√(23)
Krok 5. Sinus kąta nachylenia krawędzi BS do podstawy.
Kąt β nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy to kąt SBO w trójkącie prostokątnym BOS:
sinβ=h/|BS|=2√(22)/(2√(23)) =√(22)/√(23)=√(506)/23 ≈ 0,978
Odpowiedź: sinβ=√(22)/√(23)=√(506)/23.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.