Kąty α i β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i cos α=2/5. Oblicz tg α · sin β.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: √(21)/5
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-45.png]
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro α i β są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym, to:
α+ β= 90°
czyli β= 90° - α, więc sin β= sin(90° - α) = cos α.
Krok 1: Obliczamy sin α
Z jedynki trygonometrycznej:
sin² α+ cos² α= 1
sin² α= 1 - cos² α= 1 - (2/5)² = 1 - 4/25 = 21/25
Ponieważ α jest kątem ostrym, sin α> 0:
sin α= √(21)/5
Krok 2: Obliczamy tg α
tg α= sin α/(cos α) = √(21)/5/(2/5) = √(21)/5 · 5/2 = √(21)/2
Krok 3: Obliczamy sin β
Z zależności między kątami:
sin β= cos α= 2/5
Krok 4: Obliczamy iloczyn
tg α · sin β= √(21)/2 · 2/5 = 2√(21)/10 = √(21)/5
Odpowiedź: √(21)/5
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.