Suma 23 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) dla n ≥ 1 jest równa 1564. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a₃ i a₂₁.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: 68
Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez a₁, a różnicę ciągu przez r.
## Krok 1: Wykorzystanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:
S_n = n(a₁ + a_n)/2
Można też zapisać:
S_n = n(2a₁ + (n-1)r)/2
## Krok 2: Zapisanie warunku z treści zadania
Mamy S₂₃ = 1564, zatem:
S₂₃ = 23(a₁ + a₂₃)/2 = 1564
## Krok 3: Obliczenie sumy a₁ + a₂₃
23(a₁ + a₂₃) = 3128
a₁ + a₂₃ = 3128/23 = 136
## Krok 4: Wyrażenie a₂₃ przez wzór ogólny
W ciągu arytmetycznym:
a₂₃ = a₁ + 22r
Podstawiając do równania z Kroku 3:
a₁ + (a₁ + 22r) = 136
2a₁ + 22r = 136
a₁ + 11r = 68
## Krok 5: Obliczenie średniej arytmetycznej a₃ i a₂₁
Wyrażamy te wyrazy przez wzór ogólny: - a₃ = a₁ + 2r - a₂₁ = a₁ + 20r
Średnia arytmetyczna:
(a₃ + a₂₁)/2 = ((a₁ + 2r) + (a₁ + 20r))/2
= (2a₁ + 22r)/2 = 2(a₁ + 11r)/2 = a₁ + 11r
## Krok 6: Odpowiedź końcowa
Z Kroku 4 wiemy, że a₁ + 11r = 68.
Odpowiedź: 68
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.