Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 1/x dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0. Oblicz wartość m, dla której liczby f(m), f(1), f(2) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: m=1/2
Funkcja dana jest wzorem f(x) = 1/x dla x ≠ 0.
## Krok 1: Obliczenie wartości funkcji
Oblicza się wartości funkcji w podanych punktach:
f(m) = 1/m
f(1) = 1/1 = 1
f(2) = 1/2
## Krok 2: Warunek ciągu geometrycznego
Liczby f(m), f(1), f(2) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli: 1/m, 1, 1/2
W ciągu geometrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały. Zatem:
f(1)/f(m) = f(2)/f(1)
## Krok 3: Podstawienie i rozwiązanie równania
Podstawia się wartości:
1/(1/m) = 1/2/1
m = 1/2
## Krok 4: Sprawdzenie
Dla m = 1/2 ciąg ma postać:
f(1/2) = 1/(1/2) = 2, f(1) = 1, f(2) = 1/2
Sprawdza się iloraz: - f(1)/f(m) = 1/2 - f(2)/f(1) = 1/2/1 = 1/2
Ilorazy są równe, więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2.
Odpowiedź: m = 1/2
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.