Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział (-3,1).
Odpowiedzi do wyboru
- A.x(x+2) < 3
- B.x(x+4) < 1
- C.x(x+3) < 1
- D.x(x+1) < 3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: A
Musimy sprawdzić, która nierówność ma zbiór rozwiązań równy przedziałowi (-3, 1).
Strategia: Przedział (-3, 1) sugeruje, że po przekształceniu do postaci standardowej, równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki x₁ = -3 i x₂ = 1.
## Sprawdzenie opcji A: x(x+2) < 3
Przekształca się do postaci standardowej: x² + 2x < 3 x² + 2x - 3 < 0
Szuka się pierwiastków równania x² + 2x - 3 = 0: Δ= 4 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 x₁ = (-2 - 4)/2 = -6/2 = -3 x₂ = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1
Ponieważ współczynnik przy x² jest dodatni (a = 1 > 0), parabola jest ramionami skierowana do góry, więc x² + 2x - 3 < 0 dla x ∈ (-3, 1).
Weryfikacja: To zgadza się z zadanym przedziałem! ✓
## Sprawdzenie opcji B: x(x+4) < 1
x² + 4x < 1 x² + 4x - 1 < 0
Δ= 16 + 4 = 20 x = (-4 ± √(20))/2 = (-4 ± 2√(5))/2 = -2 ± √(5)
Pierwiastki to -2 - √(5) ≈ -4,24 i -2 + √(5) ≈ 0,24, więc przedział to (-2-√(5), -2+√(5)), a nie (-3, 1). ✗
## Sprawdzenie opcji C: x(x+3) < 1
x² + 3x - 1 < 0
Δ= 9 + 4 = 13 x = (-3 ± √(13))/2
Pierwiastki nie są liczbami całkowitymi. ✗
## Sprawdzenie opcji D: x(x+1) < 3
x² + x - 3 < 0
Δ= 1 + 12 = 13 x = (-1 ± √(13))/2
Pierwiastki nie są liczbami całkowitymi. ✗
Odpowiedź: A
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.