Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość H oraz kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 60° . Wyznacz wzór na pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa w zależności od wysokości H.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: 2H²√(7)/3
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-108.png]
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozważam ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H.
Krok 1: Analiza sytuacji
Podstawą jest kwadrat o boku a. Wysokość ostrosłupa H pada na środek podstawy (oznaczmy go O). Wierzchołek ostrosłupa to S.
Krok 2: Znalezienie długości krawędzi podstawy
Krawędź boczna łączy wierzchołek S z wierzchołkiem podstawy (oznaczmy go A). Kąt między krawędzią boczną SA a płaszczyzną podstawy to kąt ∠SAO = 60°.
W trójkącie prostokątnym SOA: - SO = H (wysokość ostrosłupa) - OA to odległość od środka kwadratu do wierzchołka
Dla kwadratu o boku a: przekątna ma długość a√(2), więc: OA = a√(2)/2
Z trójkąta SOA: tan(60°) = SO/OA = H/(a√(2)/2)
√(3) = 2H/a√(2)
a√(2) · √(3) = 2H
a = 2H/√(6) = 2H√(6)/6 = H√(6)/3
Krok 3: Znalezienie wysokości ściany bocznej
Ściana boczna to trójkąt równoramienny. Jego wysokość h opuszczona z S pada na środek boku podstawy (oznaczmy go M).
W trójkącie prostokątnym SOM: - SO = H - OM = a/2 (odległość od środka kwadratu do środka boku)
h = √(H² + (a/2)²)
Podstawiając a = H√(6)/3:
h = √(H² + 1/4 · 6H²/9) = √(H² + 6H²/36) = √(H² + H²/6)
h = √((6H² + H²)/6) = √(7H²/6) = H√(7)/√(6) = H√(42)/6
Krok 4: Obliczenie pola powierzchni bocznej
Pole jednej ściany bocznej (trójkąta): P₁ = 1/2 · a · h = 1/2 · H√(6)/3 · H√(42)/6
P₁ = H²√(6 · 42)/36 = H²√(252)/36
Ponieważ 252 = 36 · 7: √(252) = 6√(7)
P₁ = H² · 6√(7)/36 = H²√(7)/6
Pole powierzchni bocznej (4 ściany): P_(boczne) = 4 · H²√(7)/6 = 4H²√(7)/6 = 2H²√(7)/3
Odpowiedź: P_(boczne) = 2H²√(7)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.