Dane są liczby a=√(5)-2 oraz b=√(5)+2. Oblicz wartość wyrażenia a · b/(√(a)+√(b)) : (√(a)-√(b))/(a-b) dla podanych a i b.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: 1
Oblicza się wartość wyrażenia dla a=√(5)-2 oraz b=√(5)+2.
## Krok 1: Oblicza się iloczyn a · b
Używa się wzoru skróconego mnożenia (x-y)(x+y) = x²-y²:
a · b = (√(5)-2)(√(5)+2) = (√(5))² - 2² = 5-4 = 1
## Krok 2: Oblicza się różnicę a-b
a-b = (√(5)-2) - (√(5)+2) = √(5)-2-√(5)-2 = -4
## Krok 3: Upraszcza się wyrażenie √(a)+√(b)
√(a)+√(b) = √(√(5)-2) + √(√(5)+2)
## Krok 4: Upraszcza się wyrażenie √(a)-√(b)
√(a)-√(b) = √(√(5)-2) - √(√(5)+2)
## Krok 5: Podstawia się do głównego wyrażenia
a · b/(√(a)+√(b)) : (√(a)-√(b))/(a-b) = a · b/(√(a)+√(b)) · (a-b)/(√(a)-√(b))
= 1/(√(a)+√(b)) · -4/(√(a)-√(b))
= -4/(√(a)+√(b))(√(a)-√(b))
## Krok 6: Upraszcza się mianownik
Używa się wzoru (x+y)(x-y) = x²-y²:
(√(a)+√(b))(√(a)-√(b)) = (√(a))² - (√(b))² = a-b = -4
## Krok 7: Oblicza się końcowy wynik
-4/(√(a)+√(b))(√(a)-√(b)) = -4/-4 = 1
Odpowiedź: 1
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.