Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |∢CAD| = |∢ABC|. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że |AC| = |CE|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEOznaczmy: - |∠CAD| = |∠ABC| = β - |∠DAB| = α - |∠BAC| = α+ β
Ponieważ AE jest dwusieczną kąta DAB, to: |∠DAE| = |∠EAB| = α/2
Krok 1: Analiza kątów w trójkącie ABC
W trójkącie ABC suma kątów wynosi 180°: |∠BAC| + |∠ABC| + |∠ACB| = 180° (α+ β) + β+ |∠ACB| = 180° |∠ACB| = 180° - α- 2β
Krok 2: Analiza kątów w trójkącie ACD
W trójkącie ACD: |∠CAD| + |∠ACD| + |∠ADC| = 180° β+ |∠ACD| + |∠ADC| = 180°
Ponieważ |∠ACD| = |∠ACB| = 180° - α- 2β, mamy: β+ (180° - α- 2β) + |∠ADC| = 180° |∠ADC| = α+ β
Krok 3: Kąt ∠ADB
Kąty ∠ADC i ∠ADB są kątami przyległymi, więc: |∠ADB| = 180° - |∠ADC| = 180° - (α+ β)
Krok 4: Analiza kątów w trójkącie ABD
W trójkącie ABD: |∠DAB| + |∠ABD| + |∠ADB| = 180° α+ β+ (180° - α- β) = 180° ✓
Krok 5: Kąt ∠CAE
|∠CAE| = |∠CAD| + |∠DAE| = β+ α/2
Krok 6: Analiza trójkąta ACE
W trójkącie ACE: |∠CAE| + |∠ACE| + |∠AEC| = 180° (β+ α/2) + (180° - α- 2β) + |∠AEC| = 180° |∠AEC| = α+ β- α/2 = α/2 + β
Krok 7: Wniosek
Zauważamy, że: |∠CAE| = β+ α/2 = |∠AEC|
Jeśli dwa kąty w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny, a równe są boki leżące naprzeciwko równych kątów.
Ponieważ: - kąt ∠CAE leży naprzeciwko boku CE - kąt ∠AEC leży naprzeciwko boku AC
oraz |∠CAE| = |∠AEC|, to: |AC| = |CE|
co było do udowodnienia.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.