Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AB| = |AD| = |CD|. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 72° , 72° , 36°
Oznaczmy miary kątów trójkąta ABC: - α= |∠CAB| = |∠CBA| (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego) - γ= |∠ACB| (kąt przy wierzchołku)
Krok 1: Suma kątów w trójkącie ABC
2α+ γ= 180°
Krok 2: Analiza trójkąta ABD
Ponieważ |AB| = |AD|, trójkąt ABD jest równoramienny.
Kąty przy podstawie BD: |∠ABD| = |∠ADB| = α
Kąt przy wierzchołku A: |∠BAD| = 180° - 2α
Krok 3: Analiza trójkąta ACD
Ponieważ |AD| = |CD|, trójkąt ACD jest równoramienny.
Kąty przy podstawie AC: |∠CAD| = |∠ACD| = γ
Kąt przy wierzchołku D: |∠ADC| = 180° - 2γ
Krok 4: Kąt przy wierzchołku A
Kąt ∠BAC można rozłożyć na dwa kąty: α= |∠BAD| + |∠CAD| α= (180° - 2α) + γ
Krok 5: Rozwiązanie układu równań
Z równania z Kroku 4: α= 180° - 2α+ γ 3α= 180° + γ γ= 3α- 180°
Podstawiamy do równania z Kroku 1: 2α+ (3α- 180°) = 180° 5α= 360° α= 72°
Stąd: γ= 3 · 72° - 180° = 216° - 180° = 36°
Sprawdzenie: - Suma kątów: 72° + 72° + 36° = 180° ✓ - |∠BAD| = 180° - 2 · 72° = 36° ✓ - |∠CAD| = 36°, więc α= 36° + 36° = 72° ✓
Odpowiedź:
Miary kątów trójkąta ABC to: 72°, 72°, 36°
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.