Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a krawędź podstawy ma długość równą 6 √(3). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEDo tego zadania przygotowaliśmy rozwiązanie krok po kroku wraz z filmem z omówieniem: każde przekształcenie z uzasadnieniem, punktacja zgodna z zasadami oceniania CKE i odpowiedź końcowa.
Prawidłowa odpowiedź: V=108P_c=108+72√(3)
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2025-pp-70.png]
Sporządzenie rysunku pomocniczego.
# Rozwiązanie
## Dane i oznaczenia
- Podstawa: kwadrat o boku a = 6√(3) - Ściana boczna nachylona do podstawy pod kątem α= 30° - Szukamy: objętości V i pola powierzchni całkowitej P_c
## Krok 1: Znajdowanie wysokości ostrosłupa
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym: - Środek podstawy oznaczmy jako O - Wierzchołek ostrosłupa jako S - Wysokość ostrosłupa h = SO jest prostopadła do podstawy
Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt między ścianą boczną a podstawą. Ten kąt mierzymy między wysokością ściany bocznej (poprowadzoną z wierzchołka S do środka krawędzi podstawy) a podstawą.
Oznaczmy środek krawędzi podstawy jako M. Odległość OM (od środka kwadratu do środka boku) wynosi:
OM = a/2 = 6√(3)/2 = 3√(3)
W trójkącie prostokątnym SOM: - ∠SMO = 30° (kąt nachylenia ściany) - OM = 3√(3) (przyprostokątna) - SO = h (przyprostokątna — wysokość ostrosłupa)
Z definicji tangensa:
tan 30° = SO/OM = h/(3√(3))
1/√(3) = h/(3√(3))
h = 3√(3)/√(3) = 3
## Krok 2: Objętość ostrosłupa
Pole podstawy (kwadratu):
P_(pod) = a² = (6√(3))² = 36 · 3 = 108
Objętość:
V = 1/3 · P_(pod) · h = 1/3 · 108 · 3 = 108
## Krok 3: Pole powierzchni całkowitej
Pole powierzchni całkowitej składa się z podstawy i 4 ścian bocznych.
Wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa) SM:
Z trójkąta SOM:
SM = OM/(cos 30°) = 3√(3)/(√(3)/2) = 3√(3) · 2/√(3) = 6
Pole jednej ściany bocznej (trójkąt równoramienny):
P_(ściany) = 1/2 · a · SM = 1/2 · 6√(3) · 6 = 18√(3)
Pole wszystkich ścian bocznych:
P_(boczne) = 4 · 18√(3) = 72√(3)
Pole powierzchni całkowitej:
P_c = P_(pod) + P_(boczne) = 108 + 72√(3)
## Odpowiedź
V = 108 P_c = 108 + 72√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.