Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: √(3)/3
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-92.png]
Rozpatrzmy sześcian o krawędzi długości a.
Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy sześcian w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znajdował się w punkcie O = (0, 0, 0), a krawędzie biegły wzdłuż osi współrzędnych.
Wierzchołki podstawy dolnej: (0,0,0), (a,0,0), (a,a,0), (0,a,0)
Wierzchołki podstawy górnej: (0,0,a), (a,0,a), (a,a,a), (0,a,a)
Krok 3: Wyznaczenie przekątnej sześcianu
Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki, np. A = (0,0,0) i C = (a,a,a).
Krok 4: Obliczenie długości przekątnej
Długość przekątnej sześcianu: d = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√(3)
Krok 5: Wyznaczenie przekątnej podstawy
Przekątna podstawy (dolnej płaszczyzny z = 0) łączy punkty (0,0,0) i (a,a,0).
Jej długość: d_p = √(a² + a²) = a√(2)
Krok 6: Trójkąt prostokątny
Rozpatrzmy trójkąt utworzony przez: - wierzchołek A = (0,0,0) - wierzchołek B = (a,a,0) (koniec przekątnej podstawy) - wierzchołek C = (a,a,a) (koniec przekątnej sześcianu)
W tym trójkącie: - AB = a√(2) (przekątna podstawy) - BC = a (krawędź pionowa) - AC = a√(3) (przekątna sześcianu)
Kąt α między przekątną sześcianu AC a płaszczyzną podstawy to kąt ∠BAC.
Krok 7: Obliczenie sinusa
W trójkącie prostokątnym ABC (kąt prosty przy B):
sin α= BC/AC = a/a√(3) = 1/√(3) = 1/√(3) · √(3)/√(3) = √(3)/3
Odpowiedź: sin α= √(3)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.