Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 162
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-pp-treningowe-90.png]
Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a.
Krok 2: Znajdźmy związek między przekątną sześcianu a jego krawędzią
Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (przechodzący przez wnętrze sześcianu).
Aby znaleźć długość przekątnej, rozważmy: - najpierw przekątną podstawy (kwadratu o boku a) - następnie trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość sześcianu, przekątną podstawy i przekątną sześcianu
Krok 3: Obliczmy długość przekątnej podstawy
Podstawa to kwadrat o boku a, więc jego przekątna ma długość: d_(podst) = a√(2)
Krok 4: Wyznaczmy przekątną sześcianu
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, w którym: - jedna przyprostokątna to wysokość sześcianu: a - druga przyprostokątna to przekątna podstawy: a√(2) - przeciwprostokątna to przekątna sześcianu: d
Z twierdzenia Pitagorasa: d² = a² + (a√(2))² d² = a² + 2a² d² = 3a² d = a√(3)
Krok 5: Obliczmy długość krawędzi
Wiemy, że d = 9, zatem: a√(3) = 9 a = 9/√(3) = 9√(3)/3 = 3√(3)
Krok 6: Obliczmy pole powierzchni całkowitej
Sześcian ma 6 ścian, każda o polu a²: P_c = 6a² P_c = 6 · (3√(3))² P_c = 6 · 9 · 3 P_c = 6 · 27 P_c = 162
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 162.
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.